不完全gamma函数（伽马函数的计算问题）

　　伽玛函数(Gamma函数)，也被称为欧拉第二积分，是阶乘函数在实数与复数上扩展的一类函数。它在很多领域都有重要的应用，如分析学、概率论、偏微分方程和组合数学。与它密切相关的是贝塔函数，也称为第一类欧拉积分，可以用来快速计算与伽玛函数形式相类似的积分。

　　伽玛函数是一个定义在复数域上的亚纯函数，可以通过下面的公式来表达：

　　(1)在实数域上伽玛函数定义为：

　　(2)在复数域上伽玛函数定义为：

　　这个定义可以通过解析延拓原理来拓展到整个复数域上，除了非正整数。

　　除了以上的定义，伽玛函数还有另外一个写法是通过以下公式表示：

　　我们都知道是一个常用积分结果，可以用公式(3)来验证。

　　另外，伽玛函数还可以用无穷乘积来定义：

　　关于不完全伽玛函数的更详细内容，请参考其他资料。

　　在1728年，哥德巴赫研究数列插值问题时，他试图把数列的通项公式从整数集合延拓到实数集合。他发现了数列1,4,9,16.....可以用通项公式n²来自然地表达，即便 n 是实数的时候，这个通项轮型公式也是良好定义的。可以说，我们可以找到一条平滑的曲线y=x²，它通过所有的整数点(n,n²)，从而可以把定义在整数集上的公式延拓到实数集合。哥德巴赫在处理阶乘序列1,2,6,24,120,720,...时遇到了困难，他想知道能否计算2.5!。他把最初的一些(n,n!)的点画在坐标轴上，发现确实可以画出一条通过这些点的平滑曲线。然而，他无法解决阶乘在实数集上的延拓问题，于是他写信请教了尼古拉斯·伯努利和丹尼尔·伯努利两兄弟。因为那时欧拉和丹尼尔·伯努利是朋友，欧拉也因此得知了这个问题。于是，欧拉在1729年完美地解决了这个问题，这也导致了伽玛函数的诞生。当时的欧拉只有22岁。

　　下面是关于伽玛函数的一些性质：

　　1、通过分部积分的方法，可以推导出以下递归性质：

　　很容易证明，伽玛函数可以当成是阶乘在实数集上的延拓，对于正整数n，具有如下性质：

　　2、伽玛函数与贝塔函数有密切关系：

　　3、伽玛分布在概率研究中是一个重要的分布，可以通过伽玛函数进行表达：

　　其中。

　　4、伽玛函数还有一个重要的公式称为余元公式。

　　5、对于，伽玛函数是严格凹函数。

　　6、伽玛函数是亚纯函数，在复平面上，除了零和负整数点以外，它全部解析。而伽玛函数在处的留数为。

　　希望以上内容能够帮助你解疑释惑。