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- 1、大衍之数是迷信吗：《周易》的大衍之数来自天地之数吗？它的哲学含义是什么？
- 2、大衍之数是迷信吗，什么是大衍求一术
1、大衍之数是迷信吗：《周易》的大衍之数来自天地之数吗？它的哲学含义是什么？
上一篇我们在讲“大衍之数”一段时，主要从筮法的角度解读。这一篇，我们再对其中部分文字的哲学含义，做一个简单的分析。
我们再看一下原文：
大衍之数五十，其用四十有九。分而为二，以象两；挂一，以象三；揲之以四，以象四时；归奇于扐，以象闰；五岁再闰，故再扐而后挂。天数五，地数五，五位相得，而各有合。天数二十有五，地数三十，凡天地之数五十有五，此所以成变化而行鬼神也。乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四，凡三百有六十，当期之日。二篇之策，万有一千五百二十，当万物之数也。是故四营而成易，十有八变而成卦。八卦而小成。引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。显道神德行，是故可与酬酢，可与祐神矣。
首先是“大衍之数”。所谓“大衍之数”，就是用来推演天地万物的数字，具体地说，就是《周易》筮法所需要运用的数字。那么，这个“大衍之数”是多少呢？《系辞》说：“大衍之数五十。”这一点看起来没有什么争议。但问题是，这个五十的数是从哪里来的呢？
京房认为“大衍之数”的来历是：十日、十二辰、二十八宿，加起来是五十。其一不用的是天之生气。马融认为“大衍之数”的来历是：太极、两仪、日月、四时、五行、十二月、二十四气，加在一起是五十。其一不用的是代表太极的北辰。郑玄认为“大衍之数”的来历是：天地之数五十五，减去五行，是五十。姚信、董遇认为“大衍之数”的来历是：天地之数五十五，减去六爻，就是“其用四十有九”。
显然，京房、马融用加法，郑玄、姚信用减法。而减法的出处都来自天地之数。那么天地之数为什么是五十五呢？《系辞》说“天数二十有五，地数三十”，加起来就是五十五。那么，天数二十五、地数三十从哪里来的呢？《系辞》后面还有说明。按照姚信、董遇的理解，“大衍之数”就应该是天地之数，如果这种说法是正确的话，那么，《系辞》这里的“大衍之数五十”，应该是“大衍之数五十有五”，可能是在传抄过程中后面漏掉了“有五”两个字。
《系辞》认为，五十有五的天地之数，是“成变化而行鬼神”的源泉。
那么“乾之策二百一十有六，坤之策百四十有四”，是怎么来的呢？上一篇我们讲到，老阳九来自过揲法剩下的蓍策数三十六，乾卦是六根阳爻，六乘三十六是216；老阴六来自过揲法剩下的蓍策数二十四，坤卦是六根阴爻，六乘二十四是144。加在一起，就是360，象征着一年的一个周期，所以，《系辞》说：“当期之日。”《周易》上下经两篇一共是六十四卦，每卦六爻，其中阴阳爻各半，平均每卦三爻阳爻，三爻阴爻，那么，阳爻的总数是：3×36×64=6912，阴爻的总数是：3×24×64=4608,6912+4608=11520。所以，《系辞》说：“万有一千五百二十，当万物之数也。”
《系辞》接着说：“是故四营而成易，十有八变而成卦。”四营我们已经讲过，而“十有八变而成卦”意思是，每爻三变，每卦六爻，三六一十八，所以是“十有八变而成卦”。然后再从八卦引申为六十卦。
那么，接下来的“引而伸之，触类而长之，天下之能事毕矣。显道神德行，是故可与酬酢，可与祐神矣”是什么意思呢？
“触类”的意思是遇到同类，遇到同类再做类比外展，由此一来，天下可能发生的事都包括在其中了。这就是《周易》筮法的原理。用这种方式，来显现道、神、德、行，由此与神形成呼应，以助成神之功。
2、大衍之数是迷信吗，什么是大衍求一术
作者 | 张影
来源 |《数学元年》
“大衍求一术”是中国古代数学的一项杰出成就，给出了求二元一次方程整数特解的有效方法。
本文介绍“大衍求一术”的算法与数学原理，适合中学生课外阅读。
(一)为什么需要“大衍求一术”？
“大衍求一术”算法是我国南宋数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出的，用来求“孙子定理”中的“关键数”。
以《孙子算经》中的“物不知数”问题为例：
已知正整数 除以 的余数分别为求除以 的余数。
设已求得关键数 满足
则根据余数运算的原理，有
因为 分别是 的倍数，可知求 等价于求 使得
显然 符合要求，从而得到关键数
在后世的数学著作中，关键数通常利用歌诀来记忆。例如，明代数学家程大位在《算法统宗》中编写的歌诀为：
三人同行七十稀，
五树梅花廿一枝；
七子团圆正半月，
除百零五便得知。
“大衍求一术”的目标是破解这个关键问题，即：
求解一次同余式方程
其中 是互素的正整数。
(二)“大衍求一术”要意
对于互素的正整数对 “大衍求一术”算法实际上给出二元一次方程
的一组非负整数解
前文“怎样求最大公因数”(“数学元年”公众号2022年10月9日)，利用求最大公因数的更相减损过程，给出了求上述二元一次方程的一组非负整数解的简单的逐步提升算法。
秦九韶之所以要创造“大衍求一术”这样的新算法，是与中国古代数学的筹算技术密切相关的。
利用筹算进行求最大公因数的更相减损过程，不便于保留中间过程。因此更相减损过程停止后，实际上无法利用提升算法来逐步回退提升求解。
“大衍求一术”的优点是，随着辗转除法的进行，在第 步(设余数为 ) 得到 及 满足
最终，当辗转除法在第 步停止时(可能需要人为地增加一步调整除法)，刚好得到
因此 是 的一组解。
(三)“大衍求一术”的算法与解释
设 是互素的正整数。
改进的“大衍求一术”算法的目标是：求出方程
的一组非负整数解
算法每一步的结果是两行三列的数表，形如：
它的上下两行分别满足条件：
算法的初始状态设定为：
如果 则 满足要求。
设
前两步算法按 和 分情形说明。
情形一：
. 设 除以 的带余数除法的结果为：
用所得的商 分别去乘初始数表中对应于 的两数 并把结果加到对应于 的两数 上，再把 更新为余数 得到第1步的结果：
容易验证，数表的第一行的意义是：
. 如果 则算法结束。设 且 除以 的带余数除法的结果为：
用所得的商 分别去乘对应于 的两数 并把结果加到对应于 的两数 上，再把 更新为余数 得到第2步的结果：
容易确认，数表的第二行的意义是：
情形二：
. 设 除以 的带余数除法的结果为：
用所得的商 分别去乘初始数表中对应于 的两数 并把结果加到对应于 的两数 上，再把 更新为余数 得到第1步的结果：
容易确认，数表的第二行的意义是：
. 设 除以 的带余数除法的结果为：
用所得的商 分别去乘对应于 的两数 并把结果加到对应于 的两数 上，再把 更新为余数 得到第2步的结果：
容易确认，数表的第一行的意义是：
. 一般地，“大衍求一术”算法每一步的结果，或者形如
分别代表如下等式：
或者形如
分别代表如下等式：
. 这个过程一直进行下去，终止于
终止的条件是：数表的上行右列的数
5. 特别地，如果辗转相除的过程终止于下行的 (此时 ) 需要人为地增加一步“除法”，强制要求余数等于 即：
其中 算法随即终止，得到数表：
算法终止：此时，数表上行右列的数 从而有等式
这就得到了 的非负整数解
注：需要注意，秦九韶的“大衍求一术”的初始设定及每一步运行的结果都是两行两列的数表，只能求出所需的 的值。本文增添了中间一列，从而同时求出 的值。
(四)“大衍求一术”举例
本节通过例子，演示“大衍求一术”算法的过程。
例1求 的一组正整数解。
初始数表
020027第1步结果
0207第2步结果
67 第3步结果
6 第4步结果
2317因此得到一组正整数解 即有
例2求 的一组正整数解。
初始数表
096067第1步结果
29067第2步结果
299第3步结果
7109第4步结果
7103043第5步结果
37533043因此得到一组正整数解 即有
练习1求方程 的一组正整数解。
练习2求方程 的一组正整数解。
(五)“大衍求一术”原文
秦九韶《数书九章》第一卷的“大衍求一术”原文是：
大衍求一术云：置奇右上，定居右下。与天元一于左上。先以右上除右下，所得商数，与左上一相生，入左下。然后乃以右行上下，以少除多，递互除之，所得商数随即递互累乘，归左行上下。须使右上末后奇一而止。乃验左上所得，以为乘率。
需要注意，“除”的意思是“去除”，不是“除以”。
我国现行的中小学数学教科书，把“除以”简化为“除”，大谬。
了解“大衍求一术”原文的详细解读，可以参考：
沈康身《中国数学史大系·第五卷 两宋》第四章
关于“大衍求一术”原理的证明，可以参考：
万哲先《孙子定理和大衍求一术》高等教育出版社，1989.5
(六)结束语
“大衍求一术”为解一次同余式方程组提供了关键工具，从而在中国古代历法关于“上元积年”的计算中起着重要作用。
不过，明朝中叶以后，“大衍求一术”几乎失传，直到十九世纪才被考证重现，并稍加改进。
从现代数学的角度来看，“大衍求一术”可以帮助理解著名的矩阵群 的结构。
“大衍求一术”，汇古通今。它从历史中走来，引领我们踏进美丽的数学花园。
本文关键词：大衍之数怎么来的，大衍之数算卦，大衍之数到底是五十还是五十五，大衍之数怎么解卦，大衍之数不是五十五吗。这就是关于《大衍之数是迷信吗，《周易》的大衍之数来自天地之数吗》的所有内容，希望对您能有所帮助！
