量子多体理论是什么，量子多体系统的困境及相变问题

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1、量子多体理论是什么：量子多体系统的困境及相变问题

二、相变问题

相及相变在自然界司空见惯，比如水在不同温度及压力下的液态、气态及固态的转变以及在量子多体系统中各种态及其转变。在实验室，各种材料的制备及性质的测量，也广泛涉及到相变。因此，发现相及相变并理解它们，一直是凝聚态物理及现代统计物理研究的前沿。下面简要回顾相变研究的历史，特别是临界现象，以及目前的大致状况。1、临界现象历史相变的研究，最初是伴随临界现象的观察开始的。1822 年，法国科学家德拉图（Charles Cagniard de la Tour, 1777-1859）首先在实验中观察到临界现象。他将燧石球放在部分填充了液体的帕潘热压蒸锅中加热，并转动实验装置, 燧石穿过气液两相的界面发出水的拍溅声。德拉图注意到，当实验中温度远超水的沸点时，水的拍溅声在通过某个特定温度时消失了。这是最早记录的伴随相变观察到的临界现象。1869 年，安德鲁斯（Thomas Andrews, 1813-1885）发现了临界乳光现象，并提出临界点概念。1895 年，法国物理学家居里（Pierre Curie, 1859-1906）发现铁磁材料在超过某个温度时会出现退磁现象，这个温度称为居里点。同时，他注意到气液相变和铁磁相变之间的相似性，提出普适性（universality）概念，其在现代临界现象的描述中扮演重要角色。物质在临界点附近的行为可以用一系列临界指数来刻画。但是，从范德瓦尔斯（J. H. van der Waals, 1837-1923）状态方程出发，所得到的临界指数与实验并不符合，这是比利时物理学家沃沙费尔特（Jules-Emile Verschaffelt, 1870-1955）在1896 年通过对二氧化碳进行重新测量观察到的，但并未引起当时的物理学家们的重视。2、相变的唯象理论如何理解相变的本质？1873 年，范德瓦尔斯提出著名的范德瓦尔斯状态方程，解释气液相变的连续性。1907 年外斯（Pierre Weiss, 1865-1940）提出分子平均场理论，解释铁磁-顺磁相变。1934-1935 年布拉格（W. L. Bragg, 1890-1971）-威廉姆斯（E. J. Williams, 1903-1945）提出平均场理论解释有序-无序相变。1937 年朗道（L. D. Landau, 1908-1968）提出一个统一的唯象相变理论框架，并引进序参量以及与之相伴的对称破缺概念，奠定了现代凝聚态物理和统计物理研究的基础。3、相变的本质？1920 年，楞次（Wilhelm Lenz，1888-1957）提出楞次-伊辛模型解释铁磁性的起源。伊辛（Ernst Ising, 1900-1998）对一维情况进行精确求解，但并未发现系统有相变行为。他错误地将该结论推广到高维情况，得出该模型系统没有铁磁性。1944 年，昂萨格（Lars alt="量子多体理论是什么，量子多体系统的困境及相变问题" src="http://p3.toutiaoimg.com/large/pgc-image/S4smjFxAjmDWdv" />

此处ν=N/L²是系统中的电子占据数，就是二维L×L晶格上放N个电子，平均每个格点上的电子数，注意ν可以不是整数。而等式右边的V_FS是费米面的面积，再除以(2π)²就是其占正方晶格布里渊区的比例。最后一个n是一个整数，也就是说如果我们考虑多带的系统，那么那些填满的能带就在每个格点上贡献一个电子， n 个占据的能带就贡献 n个电子，如果只考虑单带问题时这个n=0。所以 Luttinger 定理指出了费米液体(即使是具有相互作用的)其电子的占据数和费米面占布里渊区的比例精确对应。这是一个很有用处的结论。

我们来看一个具体的例子。如图 1所示，图 1(a)是一个自由电子系统的布里渊区和费米面，蓝色的费米面之内为电子占据态，按照 Luttinger 定理，其面积和整个布里渊区面积的比例就是系统的电子占据数 ν(就是每个格点上平均有多少个电子，再次注意，可以不是整数)。然后若要考虑相互作用的效果，我们可以让系统感受到一个反铁磁的不稳定性，即图中绿色的矢量Q=(±π, ±π) 所示。当反铁磁长程序最终形成时，系统会进入电荷密度波的金属态，其费米面会如图 1(b)所示，原本的大费米面变成了四个小的口袋 (pocket)。乍一看，左右两边的费米面明显不相等，但是整个过程中我们没有改变电子的占据数，所以按照 Luttinger 定理，费米面和布里渊区的比例不应该变化。但是小 pocket 占的比例显然比大费米面要小，这是怎么回事呢？其实Luttinger 定理总是对的：从图 1(a)到图 1(b)，系统发生了对称性破缺，图 1(b)中的反铁磁序电荷密度波与图 1(a)中无相互作用费米子具有不同的平移对称性，即图 1(b)中 的系统实空间原胞基矢比左边长了一倍，x方向长一倍，y方向长一倍，实空间的原胞面积就大了4倍，倒空间的布里渊区就小了4倍。在小了4倍的布里渊区中，pocket 所占的比例其实和原来的大费米面在原本的布里渊区中占的比例是相同的，也就是说，Luttinger 定理对于费米液体，不论其费米面的形状在相互作用下如何变化，总是把电子占据数和费米面的面积紧紧联系起来。

图1 Luttinger 定理和费米面的面积 (a)二维正方晶格无相互作用费米子具有一个大费米面。当其感受到反铁磁相互作用时(如在 Hubbard 模型中)，反铁磁的波矢可以将费米面折叠成(b)中的小费米面，或者叫口袋(pocket)。不论是大费米面还是小费米面，其面积和布里渊区的比例就是系统中的电子占据数，即Luttinger定理。在从(a)到(b)的过程中，电子占据数没有发生改变^[7]

Luttinger 定理是如此的正确和好用，以至于在许多凝聚态物理学的前沿问题中，都可以看到它的影子。比如重费米子的 Kondo lattice问题，当重费米液体形成时，人们发现此时费米面的面积变大了，大于了系统中巡游电子的费米面，如果按照 Luttinger 定理，就意味着系统中构成费米面的电子数变多了。此时，只要把局域磁矩也计入到电子的占据数中，电子的占据数就和变大后的费米面在布里渊区中的比例相等了^[8]。其实 Oshikawa 当初对于 Luttinger 定理的证明，就是用的这个例子，告诉人们在重费米液体中，大费米面既有巡游电子的贡献，也应该有局域磁矩的贡献。Luttinger 定理看来如此强大，连重费米子都可以搞定，其他的关联的金属自然也不在话下。那么是不是所有金属的电子占据数都是和费米面的面积一一对应呢，这是不是又一个“历史终结论”式的结论呢？随着时间的前进，是不是还是会有渐渐 hold 不住的情况呢？

还真是，在凝聚态物理实验中，Luttinger 定理无法解释的情况是有的，其中最著名的要数高温超导体中的 Fermi arc 态。就是指人们在铜基超导体的欠掺杂区域通过角分辨光电子能谱观察到此处系统的费米面不再是闭合的圆圈或者口袋，而是变成了断裂的费米弧(Fermi arc)^[9—12](顺便说一句，在高温超导赝能隙和费米弧的实验发现过程中，几位华人实验物理学家都做出了重要的贡献，[9—12]这几篇文献就是现在中国科学院物理研究所丁洪研究员和斯坦福大学的沈志勋教授早年的工作，对于关联电子领域的发展影响深远)。图2(a)为铜基超导空穴型掺杂的示意相图。如图 2(b)所示，在欠掺杂区域(p= 0.1掺 杂，电子占据数ν= 0.9)，角分辨光电子谱看到的不是红色的闭合口袋，而是断裂的弧线；而如图 2(c)所示，当系统到了过掺杂区域(p= 0.25掺杂，电子占据数ν= 0.75) ，此时的费米面恢复成一个完整的圆圈，系统回到费米液体。在Fermi arc 区域，系统已经没有闭合的费米面，还让人怎么计算其面积？所以 Luttinger 定理在此处 hold不住，失效是无疑的了。至于有没有理论解释，这个就麻烦了，高温超导领域的物理学家们已经争论了20多年，还是没有定论，兹事体大，牵扯到人们对于图2(a)中T_N之上T*之下的赝能隙区域的理解。我们在这篇文章中也不能给出答案。大家可以参看中国科学院物理研究所罗会仟在《物理》的系列文章《超导“小时代”》，一窥其丰富的内涵。我们还是说说在理论上如何严格地制造出让Luttinger定理 hold 不住的关联电子态吧。

图2 (a)铜基超导空穴型掺杂的示意相图；(b)角分辨光电子能谱观察到欠掺杂区的费米弧(Fermi arc)，是没有闭合的费米面，不满足Luttinger定理，红色圆圈为量子振荡实验观察到的费米口袋(Fermi pocket)；(c)角分辨光电子能谱观察到过掺杂区完整的费米面，其面积和电子占据数吻合，满足Luttinger定理^[13]

我们问一个相对简单的问题，就是在量子多体模型层次上，能否设计出可以严格求解的关联电子模型，不用平均场和微扰论近似，计算出系统从满足Luttinger定理的费米液体金属到不满足 Luttinger 定理的金属的变化。答案是可以的，此处需要用到拓扑序规范场和物质场耦合的构造，也是刚刚才被蒙特卡洛计算证实的结果^[14]。研究人员基于前人提出的“正交金属”的理论设想，设计出了一个可以进行量子蒙特卡洛计算的微观晶格模型，模拟费米子物质场和Z2规范场耦合这样的物理图像。通过调节系统中量子涨落的强度，蒙特卡洛模拟展示了从普通金属到具有拓扑序和没有准粒子与费米面的“正交金属”的连续相变。图 3(a)就是二维正方晶格上的正交金属模型。在格点上生活着正交费米场fi,α与伊辛物质场S_i^z，将正交费米场与伊辛物质场组合可以得到真实的费米子，称为“复合费米子”ci,α= f_i,αS_i^z。复合费米子就是电子，具有电荷与自旋，有费米面，可以被实验观测到。而正交费米子由于不具有规范不变性，不是真实的电子，不能通过实验手段测量到。

图3 (a)在晶格格点上有正交费米场f_i,α与伊辛物质场 S_i^z，格点之间是Z2规范场，蓝色的椭圆代表着由正交费米场与伊辛物质场组合而成的“复合费米子”，c_i,α= f_i,αS_i^z，复合费米子就是真正的电子；(b)费米液体金属相的布里渊区，蓝色的封闭实线就是复合费米子 ci_,α费米面，满足Luttinger定理，可以被实验观测；(c)正交金属相的布里渊区，红色的实线是正交费米场f_i,α隐藏费米面，不满足Luttinger定理，不能被实验手段观测到

在晶格模型的格点之间存在着Z2 规范场 σ_b^z，规范场分别与伊辛物质场和正交费米场通过最小耦合的方式联系起来。伊辛物质场和Z2规范场的量子涨落是整个系统相互作用的来源。通过调节伊辛物质场的量子涨落强度，可以在这个模型上实现费米液体金属(图3(b))与正交金属(图3(c))，并研究它们之间的相变。图4上面三个图就是复合费米子的费米面从满足 Luttinger 定理的费米液体 ( 图 4(a))， 经过相变 ( 图 4(b))，到达不满足 Luttinger 定理的正交金属(图4(c))的全过程。而图4的下面三个图就是在相应的过程中，系统自旋动力学磁化率的行为。在费米液体相，系统的电子占据数与费米面的面积相等；而在正交金属相，系统已经没有了费米面，但计算却发现正交金属态仍然是一个电荷可以自由流动的金属。比如，自旋磁化率的结果表示不论是费米液体还是正交金属，其低能自旋涨落没有发生变化，就是费米液体的行为。这些现象都说明正交费米子仍然处于金属状态，有一个隐藏的费米面。

图4 从费米液体金属到正交金属的相变过程。图(a)、(b)和(c)为复合费米子的费米面的变化：图(a)处于费米液体金属，有费米面；图(b)为临界区域，费米面正在消失；图(c)处于正交金属相，没有费米面。图(d)、(e)和(f)为相变过程中的自旋磁化率。不论是在费米液体金属还是正交金属相，近似钻石型的费米面导致自旋磁化率图的中心出现4个小峰，说明费米液体金属与正交金属具有相同的磁学响应

正交金属态可以说是超越 Luttinger 定理的了，因为它虽然是导体，也具有电子填充，但是连费米面都没有，那么还怎么联系电子占据数和费米面的面积？但是，此处人们还可以像福山给“历史终结论”一样打补丁，可以说虽然正交金属没有费米面，但是如果去测量这里正交费米子fi,α的费米面(当然这个没法做，因为fi,α费米子不是规范不变的)，还是可以找到一个符合Luttinger 定理的隐藏费米面，隐藏费米面的面积与正交费米子的占据数是一一对应的。如果把 Luttinger定理推广到可以包括随着规范变化的隐藏费米面，也就是打上这样一个补丁，那么还可以讲 Luttinger定理对于正交金属态还是适用的。

好吧，姑且听之。那么我们可以继续追问，在理论上到底存不存在就算打了补丁也补不上，让 Luttinger定理无论怎样都hold不住，彻底失效的情况呢？比如在实验中观测到的铜基超导中的 Fermi arc 状态。其实也是有的，而且可以预期会越来越多，但是考虑到大家能读到这里应该已经筋疲力尽，进入了“每个字都认识，但是连在一起就是不明白是什么意思”的混沌状态。我们还是就此打住先，待笔者使一个拖刀之计，下一篇文字中再揭示谜底吧。

总之，历史看来应该是没有终结的，每一代人都在自己的身上践行着最后的人，都在做着与命运艰难的搏斗。从科学的角度来看，也许真的不存在什么终极的组织形式，也就是人们常说的只有相对的真理，没有绝对的真理。当我们发现已经建立的规律出现漏洞的时候，其实往往是令人兴奋的时刻，这就意味着我们摸到了之前一个相对真理的适用界限，开始探索新的相对真理了。非费米液体对于费米液 体 的 超 越 应 做 如 是 观 ；Fermi arc、正交金属对于Luttinger定理的超越亦应做如是观。“自其变者而观之，则天地曾不能以一瞬；自其不变者而观之，则物与我皆无尽也。”这样辩证的观点，遥想福公深谙从康德到黑格尔再到马克思的德国古典主义哲学，也一定懂的，实在hold 不住就算了，不要再勉为其难地为“历史终结论”打补丁了吧。

参考文献

[1] 学好蒙特卡洛，不会被忽悠. https://mp.weixin.qq.com/s/1uqCWbKmIELOR8ehFvtSSw

[2] Wang Y C，Qi Y，Chen S et al. Cautionon emergent continuous symmetry：AMonte Carlo investigation of the transverse- field frustrated Ising model class="highlight-text">量子多体中的呐喊与彷徨系列：

一、被解救的诺特

二、白马非马，非费米液体—非—费米液体

三、一生能有多少爱

本文选自《物理》2020年第7期

来源：中国物理学会期刊网

编辑：他和猫

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