六个基本初等函数图像，学会五个基本初等函数——就不用担心数学了

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1、六个基本初等函数图像：学会五个基本初等函数——就不用担心数学了

众所周知，函数是初中到大学的必学内容，并且贯穿了整个数学课本。那你知道都有哪些初等函数嘛？

第一个初等函数：幂函数。

提到幂函数，可能大家还有些陌生，所谓的幂函数，就是底数为自变量X，指数是常数的函数。

例如：正比例函数，反比例函数，只有二次项的二次函数，还有很多很多，大家可以举几个例子。

下面是经常见到的几个幂函数：

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第二个初等函数：指数函数。

所谓指数函数，就是底数为常数a（a≠0），指数为自变量X的函数。

在指数函数里面，有两个基本函数，一个是单调递增的图像（a＞1），一个是单调递减的函数图像（0＜a＜1）。

图像如下所示：下面是两个最基本的指数函数图像。

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第三个初等函数：对数函数。

对数函数指的是以a为底，真数N为自变量的函数，对数符号是log

这个函数大家可以类比指数函数进行记忆，对数函数和指数函数互为反函数，两个函数可以相互转化。

注意：就是说指数函数的定义域，值域是对数函数的值域，定义域。

如下所示：两种图像以及关系式的对比。

第四个初等函数：三角函数。

三角函数一共有三个y＝sin(x)（正弦函数），y＝cos(x)（余弦函数），y＝tan(x) （正切函数）。三个函数的自变量和角有关联，在计算时，要注意对应的值是多少。

正弦函数和余弦函数的最大值都是1，最小值是 -1，正切函数没有最值。

如下所示：三种函数的图像。

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第五个初等函数：反三角函数（初高中不学，大学要学习）非重点内容。

反三角函数主要是三个：y＝arc sin(x)，

y＝arc cos(x)，y＝arc tan(x)，要注意的是反三角函数不是三角函数的反函数,是在特定范围[-π,π]内,反三角函数与三角函数互为反函数。

如下所示：三种函数的图像。

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除了上面五种初等函数，下面这几种类型的函数，大家都认识嘛？

y＝sce(x)，y＝csc(x)，y＝cot(x)

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还记得他们的名字叫什么吗？三个函数图像，分别有哪些性质呢？

80%的人答不出来，知道答案的都是学神！你知道吗？

2、六个基本初等函数图像，基本初等函数的图像与性质

六个基本初等函数图像? 在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数，这六类函数称为基本初等函数，接下来我们就来聊聊关于六个基本初等函数图像?以下内容大家不妨参考一二希望能帮到您!

六个基本初等函数图像

在数学的发展过程中，形成了最简单最常用的六类函数，即常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数与反三角函数，这六类函数称为基本初等函数。

一、常数函数

y = c 或 f ( x ) = c , x ∈ R ,其中 c 是常数。它的图像是通过点 （0，c），且平行 x 轴的直线，如下图所示：

常数函数的图像

常数函数的性质：

1、常数函数是有界函数，周期函数（没有最小的正周期）、偶函数；

2、常数函数既是单调增加函数又是单调减少函数，特别的当 c = 0 时，它还是奇函数 。

二、幂函数

1、形如 y = x^a 的函数是幂函数，其中 a 是实数 。

幂函数图（1）

2、常见幂函数的图像：

幂函数图（2）

注：画幂函数图像时，先画第一象限的部分，在根据函数奇偶性完成整个图像。

3、幂函数的性质：

① 幂函数的图像最多只能同时出现在两个象限，且不经过第四象限；如图与坐标轴相交，则交点一定是坐标原点 。

② 所有幂函数在 （0， ∞）上都有定义，并且图像都经过点 （1,1）。

③ 若 a > 0 , 幂函数图像都经过点 （0,0）和（1,1），在第一象限内递增；

若 a < 0 ，幂函数图像只经过点 （1,1），在第一象限内递减 。

三、指数函数

1、一般地，函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）叫做指数函数，自变量 x 叫做指数，a 叫做底数，函数的定义域是R。

2、指数函数的图像：

指数函数图象

3、指数函数的性质：

① 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的函数值恒大于零 ，定义域为 R ，值域为 （0， ∞）；

② 指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的图像经过点 （0,1）；

③ 指数函数 y = a^x （a > 1）在 R 上递增 ，指数函数 y = a^x （0 < a < 1）在 R 上递减 。

四、对数函数

1、对数及其运算：

一般地，如果 a （a > 0 , a ≠ 1）的 b 次幂等于 N ，即 a^b = N，那么 b 叫做以 a 为底 N 的对数；

记作：logaN = b , 其中 a 叫做对数的底数， N 叫做真数。

根据对数定义可知：

① 零和负数没有对数，真数大于零；② 1 的对数为 0 ， 即 loga1 = 0 ；

③ 底的对数等于 1 ，即 logaa = 1 ；④ 对数恒等式：a^(logaN) = N 成立 。

通常以 10 为底的对数叫做常用对数，常用对数log10N简记作lgN；

以无理数 e = 2.71828 ... 为底的对数叫做自然对数，自然对数logeN简记作 lnN 。

对数运算性质：如果 a > 0 , a ≠ 1 , M > 0 , N > 0 , 那么 ：

对数运算性质图

2、对数函数：

一般地，对数函数 y =logax （a > 0 且 a ≠ 1）就是指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的反函数。

因为指数函数 y = a^x （a > 0 且 a ≠ 1）的值域是 （0， ∞），

所以对数函数 y =logax （a > 0 且 a ≠ 1）的定义域是 （0， ∞）。

3、对数函数的图像：

对数函数的图像

4、对数函数 y =logax （a > 0 且 a ≠ 1）的性质：

① 对数函数 y =logax （a > 0 且 a ≠ 1）的图像都在 y 轴的右侧，定义域是 （0， ∞），值域是R；

② 对数函数 y =logax （a > 0 且 a ≠ 1）的图像都经过点 （1，0）；

③ 对数函数 y =logax （a > 1）： 当 x > 1 时，y > 0 ；当 0 < x < 1 时，y < 0 ；

对数函数 y =logax （0 < a < 1）： 当 x > 1 时，y < 0 ；当 0 < x < 1 时，y > 0 。

④ 对数函数 y =logax （a > 1）在 （0. ∞）上是增函数，

对数函数 y =logax （0 < a < 1）在 （0. ∞）上是减函数。

五、三角函数与反三角函数

1、三角函数：y = sin x , y = cos x , y = tan x , y = cot x ;

2、反三角函数 ： y = arcsin x , y = arccos x , y = arctan x , y = arccot x 。

3、三角函数的图像：

三角函数图像（1）

三角函数图像（2）

4、三角函数的性质：

三角函数的性质图

注：凡是由基本初等函数经过有限次的四则运算以及有限次的复合所生成的函数称为初等函数。

狄利克雷函数 D（x）, 符号函数 sgn x ，整数函数 [ x ] 等都不是初等函数 。

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