什么是实数，什么是实数集（《实数》中包含的数学概念及例题强化训练） -健康资讯

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1、什么是实数

实数是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数，实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应，但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。

实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。实数集通常用黑正体字母 R 表示。R表示n维实数空间。实数是不可数的。实数是实数理论的核心研究对象。

所有实数的集合则可称为实数系（real number system）或实数连续统。任何一个完备的阿基米德有序域均可称为实数系。在保序同构意义下它是惟一的，常用R表示。由于R是定义了算数运算的运算系统，故有实数系这个名称。

实数可以用来测量连续的量。理论上，任何实数都可以用无限小数的方式表示，小数点的右边是一个无穷的数列（可以是循环的，也可以是非循环的）。在实际运用中，实数经常被近似成一个有限小数（保留小数点后 n 位，n为正整数）。在计算机领域，由于计算机只能存储有限的小数位数，实数经常用浮点数来表示。

数的开方主要知识点及例题：

1【平方根】：

1.如果一个数x的平方等于a，那么，这个数x就叫做a的平方根；也即，当x²=a(a≥0)时，我们称x是a的平方根，记做：x=±根号a。

2.当a=0时，它的平方根只有一个，也就是0本身；

3.当a＞0时，也就是a为正数时，它有两个平方根，且它们是互为相反数，通常记做：x=±根号a。当a＜0时，也即a为负数时，它不存在平方根。

2【算术平方根】：

1.如果一个正数x的平方等于a，即x²=a，那么，这个正数x就叫做a的算术平方根，记为：“根号a”，读作，“根号a”，其中，a称为被开方数。特别规定：0的算术平方根仍然为0。

2.算术平方根的性质：具有双重非负性，即：根号a≥0(a≥0)。

3.算术平方根与平方根的关系：算术平方根是平方根中正的一个值，它与它的相反数共同构成了平方根。因此，算术平方根只有一个值，并且是非负数，它只表示为：根号a；而平方根具有两个互为相反数的值，表示为：±根号a。

3【立方根】

1.如果x的立方等于a，那么，就称x是a的立方根，或者三次方根。记做：三次根号a，读作，3次根号a。注意：这里的3表示的是开根的次数。一般的，平方根可以省写根的次数，但是，当根的次数在两次以上的时候，则不能省略。

2.平方根与立方根：每个数都有立方根，并且一个数只有一个立方根；但是，并不是每个数都有平方根，只有非负数才能有平方根。

4【无理数】

1.无限不循环小数的小数叫做无理数；它必须满足“无限”以及“不循环”这两个条件。

2. 有理数与无理数的区别：（1）有理数指的是有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数；（2）所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成是分母为1的分数），而无理数则不能写成分数形式。

5【实数】

1.有理数与无理数统称为实数。在史书中，没有最大的实数，也没有最小的实数；绝对值最小的实数是0，最大的负整数是-1。

2.实数的性质：实数a的相反数是-a；实数a的倒数是a分之一（a≠0）；实数a的绝对值|a|=a（a≥0），|a|=,-a（a≤0），它的几何意义是：在数轴上的点到原点的距离。

3.实数的大小比较法则：实数的大小比较的法则跟有理数的大小比较法则相同：即正数大于0，0大于负数；正数大于负数；两个正数，绝对值大的就大，两个负数，绝对值大的反而小。（在数轴上，右边的数总是大于左边的数）。对于一些带根号的无理数，我们可以通过比较它们的平方或者立方的大小。

4.实数的运算：在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方六种运算。运算法则和运算顺序与有理数的一致。

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