奇函数加偶函数是什么函数，奇函数和偶函数的区别是什么（高中数学：应用函数奇偶性解题）

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• 1、奇函数加偶函数是什么函数：奇函数和偶函数的区别是什么
• 2、高中数学：应用函数奇偶性解题

1、奇函数加偶函数是什么函数：奇函数和偶函数的区别是什么

奇函数是关于原点对称，对于互为相反数的自变量，其函数值也互为相反数；偶函数是关于Y轴对称，对于互为相反数的自变量，其函数值不变。

奇函数是关于原点对称，对于互为相反数的自变量，其函数值也互为相反数。自变量a,-a，该自变量互为相反数即：a+(-a)=0，其对应的函数值f(a),f(-a),也互为相反数，即：f(a)+f(-a)=0，或写成f(a)=-f(-a);具体数字例子：f(3)+f(-3)=0。偶函数是关于Y轴对称，对于互为相反数的自变量，其函数值不变。如自变量a,-a，该自变量互为相反数即：a+(-a)=0，其对应的函数值f(a),f(-a)相等，即：f(a)=f(-a),具体数字例子：f(3)=f(-3)。

奇函数是指对于一个定义域关于原点对称的函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）= - f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数（odd function）。说明：由奇函数的定义可知，只有当f(x)的定义域是关于原点成对称的若干区间时，才有可能是奇函数。

一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意的一个x，都有f(x)=f(-x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。偶函数的定义域必须关于y轴对称，否则不能成为偶函数。

2、高中数学：应用函数奇偶性解题

A. 是奇函数

B. 是偶函数

C. 可能是奇函数也可能是偶函数

D. 不是奇函数也不是偶函数

分析：本题可以利用函数的奇偶性定义来判断，但是过程有些麻烦。如果从函数奇偶性的性质入手，解法就简捷一些。

解析：函数

，而函数

是我们熟知的一个特殊的奇函数，由函数奇偶性的性质知两个奇函数的积是偶函数，所以函数是奇函数，应选A。点评小结：记住一些常见结论有助于解题，如奇函数与奇函数的和为奇函数，奇函数与奇函数的积为偶函数，偶函数与偶函数的和为偶函数，偶函数与偶函数的积为偶函数，奇函数与偶函数的积为奇函数。

例2. 已知，，证明。

分析：本题可以利用不等式的方法证明，若转换视角从偶函数图象关于y轴对称的方向入手，则会使解题更具新鲜感，解题方法更加独特。

解析：

。

令，，函数、均为奇函数，所以函数

为偶函数。

由知定义域为，当时，，，

所以

。

而函数为偶函数，所以当时，函数

。

综上可知。

例3. 实数a=_________时，为奇函数。

分析：奇函数图象关于原点对称，而当函数的定义域包含元素“0”时，则一定有。

解析：函数的定义域为R，因为函数为奇函数，所以，即，则。

例4. 若为奇函数，则a=_________。

分析：在本题中函数的定义域虽然不包含元素“0”，但是我们可以应用定义域内的其他的元素进行解题。

解析：函数的定义域为，由函数为奇函数知，解得。

例5. 定义在上的任意函数都可以表示成一个奇函数与一个偶函数之和，如果，，那么

A.，

B.

，

C.

，

D.

，

分析：任何一个函数都可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式，即可以表示为

（偶函数）与

（奇函数）的和。

解析：

，故选C。

例6. 定义在上的偶函数，当时，单调递减，若，试确定m的取值范围。

分析：在本题中对于和m来说，它们的正负关系有四种可能性，解决的方法有：①分类讨论，但其解题过程过于复杂；②根据偶函数的性质进行转化，即，则可以大大简化解题过程。

解析：由题意，得，当时，单调递减，而、都在区间上，所以解得。

故m的取值范围是

。

▍ 来源：综合网络

▍ 编辑：Wulibang（ID：2820092099）

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