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1、函数与数列
1、函数
一、函数的概念
定义：设A是非空数集，若存在对应关系f，对 A 中任意数 x ( 对任意的 x ∈ A )，按照对应关系 f ，对应唯一一个 y ∈ R , 则称 f 是定义在 A 上的函数，表为
f ：A → R .
数x对应的数y称为x的函数值，表为 y = f ( x ) 。x 称为自变数，y 称为因变数。
数集 A 称为函数 f 的定义域，函数值得集合 f ( A ) = { f(x) ∣ x ∈ A } 称为函数 f 的值域。
二、函数的四则运算
定义：设两个函数 f 与 g 分别定义在数集 A 与 B 。
1、若 A = B ，且 对任意的 x ∈ A ，有 f ( x ) = g ( x ) , 则称函数 f 与 g 相等，表为 f = g 。
2、若 A ∩ B ≠ ∅ ，则函数 f 与 g 的 和 f + g,差 f - g，积 f · g ，分别定义为 ：
( f + g ) ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , x ∈ A∩B ；
( f - g ) ( x ) = f ( x ) - g ( x ) , x ∈ A∩B ；
( f g ) ( x ) = f ( x ) g ( x ) , x ∈ A∩B 。
3、若 （A∩B）- { x ∣ g(x) = 0 } ≠ ∅ , 则函数 f 与 g 的商 f /g 定义为
（ f /g）（x） = f(x) / g(x) , x ∈ （A∩B）- { x ∣ g(x) = 0 } 。
三、函数的图象
设函数 y = f （x）定义在数集 A上 。
坐标平面上的点集 G（f） = { ( x , y ) ∣ x ∈ A , y = f （x） } 称为函数 y = f （x）在数集 A 上的图像，简称函数 y = f(x) 的图象。
例题1、y =sgnx （符号函数），对任意的 x ∈R , 都对应唯一一个 y 。
例题1图
四、数列
定义：定义在正整数集N+ 上的函数 f ( x）称为数列。
对任意的 n ∈N+ , 设 f(n) = An , 即 A1, A2 , A3 , ... , An , ...
An称为数列的第 n 项或通项。
数列举例：
数列举例图
若 对任意的 k ∈ N+ , 有 A(k+1) - Ak = d ( 常数），A1 = a , 则称数列 {An} 是等差数列 ， d 为 公差，即
a , a + d , a + 2d , ... , a + ( n - 1 ) d , ...
若 对任意的 k ∈ N+ , 有 A(k+1) = q Ak ( q 常数），A1 = a , 则称数列 {An} 是等比数列 ，q 为 公比，即
a , aq , aq^2 , ... , aq^(n-1) , ...
2、高数上sgnx是什么函数
高数上sgnx函数返回一个整型变量，指出参数的正负号。语法Sgn(number)， number 参数是任何有效的数值表达式。返回值如果 number 大于0，则Sgn 返回1；等于0，返回0；小于0，则返回-1。number 参数的符号决定了Sgn 函数的返回值。
符号函数（signum）可由阶跃信号得来。对于符号函数在跳变点可以不予定义，或规定sgn（0）=0。
显然，可以用阶跃信号来表示符号函数：
sgn（x）=2u（t）-1
即 x>0,sgnx=1
x=0,sgnx= 0
x<0,sgnx=-1
用艾佛森括号定义：
sgn x= − [x< 0] + [x> 0]任何实数都可以表示为其绝对值和符号函数的积：
x= (sgn x) | x|若x不为零，可以由上式得出符号函数的另一个定义：
sgn(x)=x/|x|
符号函数是绝对值函数的导数：
d|x|/dx=x/|x| 除了在0，符号函数可微分，其导数为0。透过一般化微分概念，可以说符号函数是狄拉克δ函数的两倍：
dsgn(x)/dx=2δ（x） 它和单位步阶函数的关系：
sgn x= 2H1 / 2(x) − 1
符号函数的性质：
1、其定义域为R，值域为{-1,0,1}；
2、有唯一的跳跃间断点x=0;
3、单调性：它是不严格递增的非周期函数；
4、奇偶性：由sgn(-x)=-sgn(x),可知它在定义域R内是奇函数；
5、可导性：它在非原点处都可导，且导数为0；
6、它在任意区间[a,b]上都Rieman可积;
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